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1. 利用已知不等式
- 使用经典的不等式（如均值不等式、柯西-施瓦茨不等式、排序不等式等）进行放缩。
- 例子：对于正数 \(a, b\)，有 \(\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}\)（算术-几何平均不等式）。
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2. 分母或分子的放大或缩小
- 当不等式涉及分式时，可以通过放大或缩小分母或分子来简化问题。
- 例子：若 \(a > b > 0\)，则 \(\frac{1}{a}< \frac{1}{b}\)。
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3. 部分项的放缩
- 对于复杂的表达式，可以选择对某些项进行放大或缩小，从而简化整体结构。
- 例子：在级数求和中，将某些项用更简单的形式代替。\(\frac{1}{n(n+1)}< \frac{1}{n^2}\)。
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4. 使用函数的单调性
- 根据函数的增减性，在一定范围内调整变量的值以实现放缩。
- 例子：若 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上单调递增，则 \(f(a) \leq f(x) \leq f(b)\)。
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5. 夹逼准则
- 若能找到两个函数分别从上下界逼近目标函数，则可以利用夹逼准则完成证明。
- 例子：证明数列 \(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\) 的极限时，可以构造上下界进行放缩。
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6. 利用指数与对数的性质
- 指数和对数函数具有良好的单调性和增长特性，可以用来放缩。
- 例子：\(e^x \geq 1+x\) 对所有 \(x \in \mathbb{R}\) 成立。
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7. 三角函数的放缩
- 利用三角函数的有界性和单调性进行放缩。
- 例子：\(-1 \leq \sin x \leq 1\) 和 \(-1 \leq \cos x \leq 1\)。
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8. 分段讨论
- 对于复杂的函数或不等式，可以将定义域分成若干部分，在每个部分分别进行放缩。
- 例子：证明分段函数的不等式时，逐段分析。
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9. 利用泰勒展开
- 对于复杂的函数，可以使用泰勒展开并截取有限项进行近似放缩。
- 例子：\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots\)，当 \(x\) 较小时，可以用前几项近似。
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10. 结合实际背景
- 在某些应用题中，可以根据实际情况合理地放大或缩小某些量。
- 例子：在概率论中，利用事件的概率范围（\(0 \leq P(A) \leq 1\)）进行放缩。
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11. 利用递推关系
- 对于数列或递推公式，可以通过递推关系逐步放缩。
- 例子：证明斐波那契数列的增长速度时，可以利用其递推公式进行放缩。
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12. 构造辅助函数
- 构造一个便于放缩的辅助函数，通过研究该函数的性质来解决问题。
- 例子：证明不等式时，构造差值函数并分析其符号。
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以上是放缩法的一些常见技巧，具体使用时需要根据题目特点灵活选择方法。
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